Tomado de:
https://www.ingenieriaindustrialonline.com/investigacion-de-operaciones/programacion-lineal/
por: Bryan Salazar López
La Programación Lineal corresponde a un algoritmo a través del cual se pueden resolver situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para aumentar la productividad respecto a los recursos (principalmente los limitados y costosos), aumentando así los beneficios. El objetivo primordial de la Programación Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal.
Los resultados y el proceso de optimización se convierten en un respaldo cuantitativo de las decisiones frente a las situaciones planteadas. Decisiones en las que sería importante tener en cuenta diversos criterios administrativos como:
- Los hechos
- La experiencia
- La intuición
- La autoridad
¿Cómo resolver un problema mediante programación lineal?
El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son:
- Función Objetivo
- Variables
- Restricciones
El siguiente paso consiste en la determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología:
La función objetivo
La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. Si en un modelo resultasen distintas preguntas, la función objetivo se relacionaría con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. Así por ejemplo, si en una situación se desean minimizar los costos, es muy probable que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad en lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos.
Las variables de decisión
Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y objetivo general, se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. Las variables de decisión, son en teoría, factores controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo de la función general del problema.
Las restricciones
Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión.
La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso hipotético en el que decidiéramos darle un valor infinito a nuestras variables de decisión, por ejemplo, ¿qué pasaría si en un problema que precisa maximizar sus utilidades en un sistema de producción de calzado decidiéramos producir una cantidad infinita de zapatos? Seguramente ahora nos surgirían múltiples interrogantes, como por ejemplo:
- ¿Con cuánta materia prima cuento para producirlos?
- ¿Con cuánta mano de obra cuento para fabricarlos?
- ¿Pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto?
- ¿Podría mi fuerza de mercadeo vender todos los zapatos?
- ¿Puedo financiar tal empresa?
Pues bueno, entonces habríamos descubierto que nuestro sistema presenta una serie de limitantes, tanto físicas, como de contexto, de tal manera que los valores que en un momento dado podrían tomar nuestras variables de decisión se encuentran condicionados por una serie de restricciones.
Ejemplo de resolución de un problema de programación lineal
El problema se recomienda leer en más de una ocasión para facilitar el reconocimiento de las variables, además es muy recomendable la elaboración de tablas o matrices que faciliten una mayor comprensión del mismo.La fábrica de Hilados y Tejidos «SALAZAR» requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?
Paso 1: Formular el problema
Para realizar este paso partimos de la pregunta central del problema.
¿Cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?
Y la formulación es:
“Determinar la cantidad de metros diarios de tejido tipo T y T’ a fabricar teniendo en cuenta el óptimo beneficio respecto a la utilidad”.
Paso 2: Determinar las variables de decisión
Basándonos en la formulación del problema nuestras variables de decisión son:
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
PASO 3: Determinar las restricciones del problema
En este paso determinamos las funciones que limitan el problema, estas están dadas por capacidad, disponibilidad, proporción, no negatividad entre otras.
De disponibilidad de materia prima:
0,125XT + 0,200XT’ <= 500 Hilo “a”
0,150XT + 0,100XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
De no negatividad
XT,XT’ >= 0
PASO 4: Determinar la Función Objetivo
En este paso es de vital importancia establecer el contexto operativo del problema para de esta forma determinar si es de Maximización o Minimización. En este caso abordamos el contexto de beneficio por ende lo ideal es Maximizar.
Función Objetivo
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
PASO 5: Resolver el modelo utilizando software o métodos manuales
Los métodos a usar en nuestro caso son :El Método Geométrico
Este proceso se basa en realizar una gráfica donde se deben trazar lineas rectas que cortan el eje X y el eje Y
Cada restricción del problema se convierte a una recta cambiando la desigualdad por una igualdad: Ejemplo
3x+2y < 500
RECUERDE: LOS VALORES ACEPTADOS PARA x y y SON POSITIVOS ya que representan una cantidad de un recurso dado; no tienen sentido, los valores negativos de x y y.
Puedes terminar de leer estas líneas, pero, honestamente, te recomiendo ver el video y te va mejor para entender cómo se grafica una desigualdad. Ver Arya pag. 400 a 405
Para llevar esta desigualdad a la gráfica se cambia el signo de desigualdad: < por un signo igual: = y ahora veremos esto:
3x+2y=500
Para graficar esa igualdad (eso es una recta) nos valemos de buscar los cortes con los ejes de coordenadas; esto lo hacemos en dos etapas:
Etapa 1: hacemos x=0 y hallamos el valor de y (este es el corte con el eje y, es decir el punto (0 , 250)
Etapa 2: hacemos y=0 y hallamos el valor de x (este es el corte con el eje x, es decir el punto (166,66 , 0)
Al unir esos dos puntos de la gráfica, verás una recta que va desde el corte en eje y hasta el corte con eje x.
Esa recta representa los puntos que cumplen con la igualdad: 3x+2y=500.
Para hallar en la gráfica los puntos que cumplen con la desigualdad: 3x+2y<500 b="">, se debe sombrear a a la izquierda de la recta debido a que la desigualdad es menor que: <
Entonces, cualquier punto (x1 , y1) del lado izquierdo de la recta satisface la desigualdad. Como es menor que, la recta no entra en la solución.
PERO SI LA DESIGUALDAD FUERA MENOR O IGUAL: <= entonces cualquier punto de la recta también entra en la solución
El Método Simplex
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